条件概率

条件概率的定义：设$A$, $B$是两个事件，且$P(A)>0$，称

为在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的条件概率。

同理，可得出在事件$B$发生的条件下，事件$A$发生的条件概率为

根据文氏图可以看出，在事件$A$发生的情况下，事件$B$发生的概率，就是$P(A \cap B)$除以$P(A)$，即$P(AB)$除以$P(A)$。

乘法定理

设$P(A) > 0$，则有

由条件概率的定义，可得到上述乘法定理。

同理，可得：


$P(AB)$又叫联合概率（两个事件共同发生的概率），还可以记为$P(A \cap B)$或者$P(A,B)$

样本空间及其划分

定义：设$S$为试验$E$的样本空间，$B_1,B_2,\cdots,B_n$为$E$的一组事件。若

(1) $B_i B_j = \emptyset$， $i \neq j$， $ i,j=1,2, \cdots, n$；

(2) $B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = S$，

则称$B_1 , B_2 , \cdots , B_n $为样本空间$S$的一个划分。

若$B_1 , B_2 , \cdots , B_n $为样本空间$S$的一个划分，那么，对于每次试验，事件$B_1 , B_2 , \cdots , B_n $中必有一个且仅有一个发生。

全概率公式

定理：设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_1 , B_2 , \cdots , B_n$ 为$S$的一个划分，且$P(B_i)>0$ （$i=1,2, \cdots, n$），则

称为全概率公式。

特别地，当$n=2$，并将$B_1$记为$B$，此时$B_2$就是$\overline B$， 全概率公式变为

贝叶斯公式

定理：设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_1 , B_2 , \cdots , B_n$ 为$S$的一个划分，且$P(A)>0$，$P(B_i)>0$ （$i=1,2, \cdots, n$），则

称为贝叶斯公式。

证明：由条件概率的定义及全概率公式即得


特别地，当$n=2$，并将$B_1$记为$B$，此时$B_2$就是$\overline B$， 贝叶斯公式变为

其中，$P(B)$称为$B$的先验概率，即在事件$A$发生之前，我们对$B$事件发生概率的一个基本判断，往往是基于以往的数据分析得到的。$P(B|A)$称为$B$的后验概率，即在$A$事件发生之后，我们对$B$事件发生的概率进行重新评估。


$A$和$B$只是表示事件的符号而已，类似地，贝叶斯公式也可被写为：

此时，$P(A)$称为$A$的先验概率，即在事件$B$发生之前，我们对$A$事件发生概率的一个基本判断，往往是基于以往的数据分析得到的。$P(A|B)$称为$A$的后验概率，即在$B$事件发生之后，我们对$A$事件发生的概率进行重新评估。

举例

例1. 已知人群中某种疾病的发病率为0.001。现有一种试剂可以检验是否患有该疾病，在患病情况下，有99%的可能呈现阳性。没患病情况下，也有5%的可能呈现阳性。现有一个人被检出阳性，请问他确实患有该病的可能性有多大？

解：以$A$表示事件“检验结果呈现阳性”，$B$表示事件“患病”。

已知$P(B)=0.001$，这是先验概率，即没有检查之前，预计的患病可能性，根据人群的历史发病数据得来的。

现在要求$P(B|A)$，就是后验概率，即检查为阳性之后患病的可能性。

参考文献：

[1] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.